今天小粉笔给大家带来了一个比较简单但却考频较高的知识点——牛吃草问题。下面就用几道例题来实战跟大家讲解一下，错一道就说明你还学的不够哦~

基础理论

【知识点】牛吃草问题：

1、题型特征：排比句。

2、两个公式：

（1）Y=（N-X）*T。

（2）X=总量差/时间差=（N1*T1-N2*T2）/（T1-T2）。

3、解题步骤：

（1）求草长速度（X）。

（2）求原草量（Y）。

（3）根据题意求解。

题型特征

排比句

例：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给27头牛吃，可以吃6天，或者供给23头牛吃，可以吃9天，期间一直有草生长。如果供给21头牛吃，可以吃多少天？

答：“供给27头牛吃，可以吃6天，或者供给23头牛吃，可以吃9天”，是排比句。大家不要拿数学排比句和语文排比句对比，数学排比句没有必要像语文排比句那么工整。出题人认为牛吃草问题出现“牛”、“草”太简单，喜欢替换掉牛和草。如本题将草场替换成林场、牛替换成人，改为“林场上有一片森林，每天都生长得一样快。这片森林供给27个人砍伐，可以砍伐6个月，或者供给23个人砍伐，可以砍伐9个月，期间一直有森林生长。如果供给21个人砍伐，可以砍伐多少天？”，虽然改变了牛和草，但是题目本质不变。

真题中常见的描述

检票口检票、抽水机抽水、资源开采。只要出现排比句，就是牛吃草问题，中间描述的词语可以随便换。

例1：火车站售票窗口一开始有若干乘客排队购票，且之后每分钟增加排队购票的乘客人数相同。从开始办理购票手续到没有乘客排队，若开放3个窗口，需耗时90分钟，若开放5个窗口，则需耗时45分钟。问如果开放6个窗口，需耗时多少分钟？

答：“若开放3个窗口，需耗时90分钟，若开放5个窗口，则需耗时45分钟”，是排比句，将售票窗口改成牛，就是牛吃草问题。

例2：某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的开采？（假定该河段河沙沉积的速度相对稳定）

答：“可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月”，是排比句，将人换成牛，就是牛吃草问题。

两个公式

注意：只要记住公式，基本上所有的牛吃草问题都可以无脑做，因此建议大家花点时间把公式记下来

公式一：y=（n-x）*t

例：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给27头牛吃，可以吃6天，或者供给23头牛吃，可以吃9天，期间一直有草生长。如果供给21头牛吃，可以吃多少天？

答：如图，用绿色大框表示原草量（Y），“牧场上有一片青草，每天都生长得一样快”，草长有速度，原草量会增加，用向上的箭头表示草长。牛吃草会让草量减少，用向下的箭头表示牛吃。本题相当于一个总量由2个因素影响，是牛吃草问题。若草每天长的量是3（相当于草长的速度是3），牛每天吃的量是8，9天吃完，则原草量（Y）=（8-3）*9；若草长的速度是5，牛每天吃的量是13，15天吃完，则原草量（Y）=（13-5）*15；若草长的速度是X，牛每天吃的量是N，T天吃完，则原草量（Y）=（N-X）*T。

公式二：X=（N1*T1-N2*T2）/（T1-T2）

例：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给27头牛吃，可以吃6天，或者供给23头牛吃，可以吃9天，期间一直有草生长。如果供给21头牛吃，可以吃多少天？

答：重点看排比句，“供给27头牛吃，可以吃6天，或者供给23头牛吃，可以吃9天”，设每头牛每天吃的草量为1，1可以理解成1千克、1平方米、1吨，不用带单位。27头牛6天吃的草量=27*6，23头牛9天吃的草量=23*9。如图，27头牛6天吃的草量=原草量+6天新长的草量，23头牛9天吃的草量=原草量+9天新长的草量，X=总量差/时间差=（23*9-27*6）/（9-6），总量差=原草量+9天新长的草量-（原草量+6天新长的草量）=3天新长的草量，时间差=9-6=3天。

把数字换成字母，更有普遍性，N1头牛T1天吃的草量=N1*T1，N2头牛T2天吃的草量=N2*T2，X=总量差/时间差=（N2*T2-N1*T1）/（T2-T1）=（N1*T1-N2*T2）/（T1-T2）。注意：总量差是N2*T2-N1*T1，对应时间差是T2-T1；总量差是N1*T1-N2*T2，对应时间差是T1-T2。

解题步骤

1、求草长速度（X）。求X用公式二，X=总量差/时间差=（N1*T1-N2*T2）/（T1-T2）。

2、求原草量（Y）。求Y用公式一，Y=（N-X）*T。

3、根据题意求解。通常用公式一，Y=（N-X）*T。

例：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给27头牛吃，可以吃6天，或者供给23头牛吃，可以吃9天，期间一直有草生长。如果供给21头牛吃，可以吃多少天？

答：通过排比句判定为牛吃草问题。（1）求草长速度（X）：X=总量差/时间差=（27*6-23*9）/（6-9）=（54-69）/（-1）=15。（2）求原草量（Y）：任意代入其中一个条件，Y=（N-X）*T=（27-15）*6=72。（3）根据题意求解：供给21头牛吃，代入Y=（N-X）*T，即72=（21-15）*T，解得T=12。

实战演练

例题

火车站售票窗口一开始有若干乘客排队购票，且之后每分钟增加排队购票的乘客人数相同。从开始办理购票手续到没有乘客排队，若开放3个窗口，需耗时90分钟，若开放5个窗口，则需耗时45分钟。问如果开放6个窗口，需耗时多少分钟？

A.36                            

B.38

C.40                            

D.42

【解析】

“若开放3个窗口，需耗时90分钟，若开放5个窗口，则需耗时45分钟”，出现排比句，牛吃草问题。（1）求草长速度（X）：X=总量差/时间差=（3*90-5*45）/（90-45）=3*2-5=1。（2）求原草量（Y）：任意代入其中一个条件，Y=（N-X）*T=（3-1）*90=180。（3）根据题意求解：要求开放6个窗口，代入Y=（N-X）*T，即180=（6-1）*T，解得T=36，对应A项。【选A】

例题

某政务服务大厅开始办理业务前，已经有部分人在排队等候领取证书，且每分钟新增的人数一样多。从开始办理业务到排队等候的人全部领到证书，若同时开5个发证窗口就需要1个小时，若同时开6个发证窗口就需要40分钟。按照每个窗口给每个人发证书需要1分钟计算，如果想要在20分钟内将排队等候的人的证书全部发完，则需同时开（  ）个发证窗口。

A.7                             

B.8

C.9                             

D.10

【解析】

“若同时开5个发证窗口就需要1个小时，若同时开6个发证窗口就需要40分钟”，出现排比句，牛吃草问题。（1）求草长速度（X）：1小时=60分钟，X=总量差/时间差=（5*60-6*40）/（60-40）=5*3-6*2=3。（2）求原草量（Y）：任意代入其中一个条件，Y=（N-X）*T=（5-3）*60=120。（3）根据题意求解：想要在20分钟内将排队等候的人的证书全部发完，代入Y=（N-X）*T，即120=（N-3）*20，解得N=9，对应C项。【选C】

例题

某轮船发生漏水事故，漏洞处不断地匀速进水，船员发现险情后立即开启抽水机向外抽水。已知每台抽水机每分钟抽水20立方米，若同时使用2台抽水机15分钟能把水抽完，若同时使用3台抽水机9分钟能把水抽完。当抽水机开始向外抽水时，该轮船已进水（  ）立方米。

A.360                           

B.450

C.540                           

D.600

【解析】

“若同时使用2台抽水机15分钟能把水抽完，若同时使用3台抽水机9分钟能把水抽完”，已知每台抽水机每分钟抽水20立方米，无需设抽水机效率为1。（1）求草长速度（X）：X=总量差/时间差=（40*15-60*9）/（15-9）=10。（2）求原草量（Y）：任意代入一个条件，Y=（N-X）*T=（40-10）*15=450。（3）根据题意求解：进水量=原草量=450，对应B项。【选B】

 

【注意】

草长让原草量增加，牛吃让原草量减少，可以把原草量、草长、牛吃对应到题目上，例如本题，发现进水时轮船进的水对应原草量；漏洞进水让草量增加，对应草长；抽水机排水让草量减少，对应牛吃。如果都能总结出来，说明牛吃草问题学会了。

例题

某河道由于淤泥堆积影响到船只航行安全，现由工程队使用挖沙机进行清淤工作，清淤时上游河水又会带来新的泥沙。若使用1台挖沙机300天可完成清淤工作，使用2台挖沙机100天可完成清淤工作。为了尽快让河道恢复使用，上级部门要求工程队25天内完成河道的全部清淤工作，那么工程队至少要有多少台挖沙机同时工作？

A.4                             

B.5

C.6                             

D.7

【解析】

“若使用1台挖沙机300天可完成清淤工作，使用2台挖沙机100天可完成清淤工作”，出现排比句，牛吃草问题。（1）求草长速度（X）：X=总量差/时间差=（1*300-2*100）/（300-100）=100/200=0.5。（2）求原草量（Y）：任意代入一个条件，Y=（N-X）*T=（2-0.5）*100=150。（3）根据题意求解：代入Y=（N-X）*T，150=（N-0.5）*25，解得N=6.5，问“至少要有多少台挖沙机同时工作”，即挖沙机≥6.5，挖沙机取7（反向取整），对应D项。【选D】

 

【注意】

反向取整：若解得结果为6.5，求至少向上取7；求至多向下取整取6，反向取整还可用于构造数列中。

例题

【例5】

药厂使用电动研磨器将一批晒干的中药磨成药粉，厂长决定从上午10点开始，增加若干台手工研磨器进行辅助作业，他估算如果增加2台，可在晚上8点完成。如果增加8台，可在下午6点完成，问如果任务增加一倍还希望在下午3点完成，需要增加多少台手工研磨器：

A.62                            B.68

C.70                            D.74

E.81                            F.85

G.88                            H.90

【解析】

“如果增加2台，可在晚上8点完成。如果增加8台，可在下午6点完成”，出现排比句，牛吃草问题。（1）求草长速度（X）：设一台研磨器效率为1，8点对应20点，上午10点到20点为10个小时；下午6点对应18点，上午10点到18点为8个小时。X=总量差/时间差=（2*10-8*8）/（10-8）=-44/2=-22，若出现负数，运算时带符号。（2）求原草量（Y）：任意代入一个条件，Y=（N-X）*T=[2-（-22）]*10=240。（3）根据题意求解：代入Y=（N-X）*T，“任务增加一倍”，则现在任务为240*2=480，下午3点对应15点，上午10点到15点共5个小时，480=（N+22）*5，解得N+22=96，N=74，对应D项。【选D】

例题

由于连日暴雨，某水库水位急剧上升，逼近警戒水位。假设每天降雨量一致，若打开2个水闸放水，则3天后正好到达警戒水位；若打开3个水闸放水，则4天后正好到达警戒水位。气象台预报，大雨还将持续七天，流入水库的水量将比之前多20%。若不考虑水的蒸发、渗透和流失，则至少打开几个水闸，才能保证接下来的七天都不会到达警戒水位？

A.5                            

B.6

C.7                            

D.8

【解析】

这是考过的牛吃草真题里面最难的一道题目。有排比，牛吃草问题，三步走做题，第一步求草长速度X，X=总量差/时间差=（2*3-3*4）/（3-4）=-6/-1=6；第二步求原草量，Y=（N-X）*T，代入数据，Y=（2-6）*3=-12；不用管-12代表什么含义，也不用管是否符合常理，出现负号，带着符号计算即可。第三步根据题意求解，Y=（N-X）*T，问若不考虑水的蒸发、渗透和流失，则至少打开几个水闸，才能保证接下来的七天都不会到达警戒水位，Y=-12，求的是N，流入水库的水量将比之前多20%，新的速度为6*1.2=7.2，则-12=（N-7.2）*7，-12=7N-50.4，7N=38.4，解得N≈5.5，出现小数，反向取整，求的是至少，取6，对应B项。【选B】

例题

某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的开采？（假定该河段河沙沉积的速度相对稳定）

A.25                           

B.30

C.35                           

D.40

【解析】

有排比句，牛吃草问题，三步走，第一步求草生长速度，X=总量差/时间差=（80*6-60*10）/（6-10）=30；问最多可供多少人进行连续不间断的开采，生长速度=牛头数，因此最多可供30人不间断开采，对应B项。【选B】

总结一下

1、题型特征：

（1）排比句。

（2）常见描述：检票口检票、抽水机抽水、资源开采。

2、两个公式：

（1）Y=（N-X）*T；若出现负数，运算带符号。

（2）X=（N1*T1-N2*T2）/（T1-T2），注意顺序，总量是N1*T1-N2*T2，分母是T1-T2。

3、解题步骤：

（1）求草长速度（X）。

（2）求原有总量（Y）。

（3）根据题意求解。

4、持续型牛吃草：草长速度（X）即为所求。

5、建议同学把7道例题的原有草量、草长速度、谁是牛，对应清楚，才是真正的把题目做透了。

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