公式类几何问题

01

题型特征

题干给出相关几何图形，利用公式即可求解。

02

解题思路

规则图形用公式，不规则图形转化为规则图形再用公式。

03

粉笔思维

周长：

正方形 4a

长方形 2(a+b)

圆形 2πr

弧长 2πr × n°/360°

 

面积：

正方形 a2

长方形 ab

三角形 ah/2

圆形 πr ²  

扇形 πr2 × n°/360°

梯形 (a+b)/2 × h

菱形 对角线乘积/2

 

表面积：

正方体 6a2

长方体 2(ab+ac+bc)

球体 4πr2 =πD2

圆柱体 2πr2 +2πrh

  

体积：

正方体 a3

长方体 abc

球体 4πr3/3 = πD3/6

圆柱体 πr ²  h

棱锥：S底面积h/3

结论类几何问题

（1）1条直线可将平面分成2个面，2条直线可将平面最多分成4个面，3条直线可将平面最多分成7个面，4条直线可将平面最多分成11个面，5条直线可将平面最多分成16个面，6条直线可将平面最多分成22个面，7条直线可将平面最多分成29个面……

（2）由圆周上某一点和圆的直径所组成的三角形一定是直角三角形。

（3）相似三角形：

①判定：两个角相等，则两个三角形相似；

②结论：对应边成比例；面积之比=边长之比的平方。

（4）勾股定理：

①常考勾股数：（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13）,当直角三角形边长为（6、8、10）、（5、12、13）时，其周长与面积相等；

②若直角三角形的三个角分别为30°、60°、90°时，则短直角边是斜边的一半；长直角边是短直角边的√3倍；

（5）平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大。反之，若面积一定，越接近于圆，周长越小；

（6）立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。反之，若体积一定，越接近于球，表面积越小；

（7）平面几何最值规律：在面积一定的长方形中，正方形的周长最小；在周长一定的长方形中，正方形的面积最大。

立体几何空间构造类

01

题型特征

（1）从中间挖一部分，问剩余体积或者挖去部分体积；

（2）立方体上最远两点的距离；

（3）大图形切割成若干个小图形，数个数。

02

解题思路

（1）从中间挖一部分：原体积-剩余体积；

（2）最远距离：将立体图形展开成平面图形，对角线距离最长，两点之间线段最短；

（3）数个数：边长为a的正方体表面涂满颜色，切割成边长为1的小正方体，则一共可切割成a3个小正方体，其中，1面有颜色的有6(a-2)2个；2面有颜色的有12(a-2)个；3个面有颜色的有8个；没有颜色的有(a-2)3个。

方阵问题

01

题型特征

若干个主体排列成方阵，求主体的个数。

02

解题思路

①正方形方阵边长为n，则最外层人数=4n-4；长方形方阵长边为a，短边为b，则最外层人数=2(a+b)-4；

②正方形方阵边长为n，则实心正方形方阵的总人数=n2；长方形方阵长边为a，短边为b，则实心长方形方阵的总人数=a×b；

③相邻两层人数相差为8。此结论在空心方阵计算总人数时会用到。

方阵问题套路性强，掌握方法即可解题。计算总人数时，可理解为求四边形的面积，正方形为n2，长方形为a×b。另外，解题时若没有明确说是空心方阵，则一般默认为实心方阵。

植树问题

01

题型特征

在道路两边植树，或摆放物品、安装路灯等，求种植棵数。

02

解题思路

①两端植树：棵数=段数+1=总长/间隔长度+1；

②单端植树（环形植树）：棵数=段数=总长/间隔长度；

③楼间植树（两端都不植）：棵数=段数-1=总长/间隔长度-1；

④不移动植树：不移动的段数=两次段数的最大公约数。

求不移动棵数时，若是两端植树，则=最大公约数+1；若是单端植树，则=最大公约数；若是楼间植树，则=最大公约数-1。

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