01

“立体拼合”实用技巧

1.题型判定

提问：题干中完整图形是由残缺图形与哪个选项共同构成？

题干：给出一个完整图形及几个残缺图形（如下图所示）。

2.解题思路

凹凸一致，有凹必有凸，有凸必有凹。具体要考虑两个方面：

（1）凹进去的部分与凸出来的部分形状相同，如上图中图2与图3可拼合为图1。

（2）凹进去的部分与凸出来的部分对应长度相同。

粉笔小贴士：

    立体拼合题目可以先观察题干和选项的“凹凸”部分的形状，通常情况下可以排除1-2个错误选项，再对剩余选项拼合的部分进行长度上的比较。

例题

（2014国考）下图中的立体图形①是由立体图形②、③和④组合而成，下列哪一项能够填入问号处：

【题型判定】通过问题可判定本题考察立体拼合，即题干图①由图②、③、④拼合而来。

【题目分析】立体拼合的解题原则为凹凸一致。观察图1，发现拼合而成的图形中不存在尖头凸起；观察图2，存在一个尖头凸起。因此，必须存在一个凹进去的尖头形状，与图2拼合在一起。观察选项发现，A和C项均存在尖头凸起，D项无尖头凹进去的形状，只有B项满足要求。

粉笔小贴士：

立体拼合题目无需观察整体是否可以拼合，只需观察图形特殊的“凹凸”的部分，同时要多利用排除法做题。

例题

（2019山东）下图所示的多面体为20个一样的小正方体组合而成，问①、②和以下哪个多面体可以组合成该多面体？

【题型判定】通过问题可直接判断题型为立体拼合，即图①②和选项拼合成左侧图形。

【题目分析】观察图①，右上角缺少了一块正方体，且左边突出来两个正方体，故可确定图①在多面体中的位置如下图所示：

观察图②，上面一排正方体中间少了一块正方体,故可确定图②在多面体中的位置如下图所示：

因此,需要补充的图形如下图所示：

故正确答案为A。

粉笔小贴士：

1.小方块立体拼合的题目近年来频繁出现，是命题的趋势，如果选项小方块数量不同，可先根据小方块的数量进行排除。

2.当选项图形与题干残缺图形无法满足“凹凸一致”的原则时，可尝试将题干图形或选项图形进行简单的旋转与翻转，再利用“凹凸一致”原则进行验证。

02

“截面图”必会技巧

1.题型判定：

提问：题干中给出一个立体图形，问哪项能够（或不能）成为其截面。

题干：给出一个立体图形，通常会具体描述立体图形的形状。

例：一立方体如图所示从中挖掉一个圆锥体，然后从任意面剖开，下面哪一项不可能是该立方体的截面：

截面图-指的是被切部分的形状。

剖视图-假想用一个剖切平面将物体剖开，移去介于观察者和剖切平面之间的部分，对于剩余部分向投影面所做的正投影图。

粉笔小贴士：

截面图与剖面图的区别要重点掌握，大多的考试题目考查的都是截面图，剖面图常作为迷惑项出现。

2.解题思维

（1）解题原则：一刀切。①一刀切到底；②不能拐弯。

（2）常见立体图形截面（以最常见的六面体、圆柱、圆锥、圆台等基础图形为例）

截面图给出的立体图形一般是基础图形的组合（如立方体+圆锥），因此掌握常见立体图形的截面是做题的基础。

①六面体

a.矩形（拦腰切、上下切、斜切）

b.梯形（斜切）

c.三角形（从棱上的某一点开始斜着切到面）

需要注意，六面体只能切出锐角三角形，无法切出直角、钝角三角形。

②圆柱

a.圆（横切）；b.椭圆（斜切）；c.矩形（竖切）

③圆锥

a.圆（横切）；b.椭圆（斜切）；c.三角形（竖切过顶点）

④圆台

a.圆（横切）；b.椭圆（斜切）；c.梯形（竖切）

粉笔小贴士：

1.题目中选项图形的切割方向主要集中在横切、竖切和斜切上，因此要掌握基础图形沿这三种方向所切出的图形形状。

2.圆柱、圆锥、圆台横着切均是“圆”，斜着切均是“椭圆”。需要特别注意的是圆柱从上向下斜着切两侧是曲线，而不是直线。

例题

（2017河南）左图是给定的立体图形，将其从任一面剖开，下面哪一项不可能是该立体图形的截面？

【题型判定】通过问题可以判断本题考查截面图，要求选出的是不可能成为截面的选项。

【题目分析】逐一分析选项。

A项：在图形前面的L形部分，竖直向下可以切出，如图1所示；

B项：在图形一角斜着从棱切到面（六面体沿棱斜切出三角形），可以切出，如图2所示；

C项：图形可看成两个六面体的拼合，六面体无法切出直角三角形，无法切出，当选；

D项：在图形的一角斜着从面切到面（六面体斜切出梯形），可以切出，如图3所示。

例题

（2017联考）如图所示，立方体上叠加圆柱体再打通一个圆柱孔，然后从任意面剖开，下面哪一项不可能是该立体的截面？

【题型判定】通过问题可以判断本题考察截面图，要求选出的是不可能成为截面的选项。

【题目分析】逐一分析选项。

A项：图形下方为六面体，一定可以切出矩形（从上往下竖切），如下图1所示，排除；

B项：图形下方的立方体上横切、斜切都无法得出此形状，竖切应是完整矩形；上方的圆柱体，从上往下竖切，可得到矩形截面，但一刀切到底，截面两侧应有2个“凸起”部分，而且大圆柱体内部“打通一个圆柱孔”说明“圆柱孔”中间部分应无线，无法切出，当选；

C项：上方圆柱部分横切，可以切出两个同心圆，如图2所示，排除；

D项：图形下方为六面体，一定可以切出矩形（斜切），如下图3所示，排除。

粉笔小贴士：

1.截面题题目问题多要求选择“不可能”的截面选项；

2.当整体无法判断图形的截面图时，可分解成基础图形进行判断，如例1可以分解成两个长方体，例2可以分解为一个正方体和两个圆柱体；

3.熟练掌握常见的六面体、圆柱、圆锥、圆台等基础图形的各种截面形状。

03

“三视图”做题思路

1.题型判定：

提问：从所给四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定规律性：

题干：给出立体图形以及它的三个三视图（如下图所示）。

立体图形的三视图分为主视图（从正面看）、俯视图（从头顶向下看）以及左视图（从左侧看），如下图所示：

上图中，图（1）为左视图，图（2）为主视图，图（3）为俯视图。

粉笔小贴士：

三视图题目的提问方法虽然与图形推理中平面规律的提问方法相同，但题干图形的特征较为明显，通常会出现一个立体图形和两个三视图，且题型多为两组图形式。

实际做题中，出题人不一定会严格按照左视、俯视、主视的角度来考查，可能出现右视图（从右向左）和仰视图（从下向上）等，要具体情况具体分析。

2.解题思维

（1）所有的三视图都是平面图。若选项中出现立体图形，则一定错误。

（2）原图有线就有线，原图没线就没线。

如上图所示，图1和图2都是从立体图形从左前方往右后方观察的，立体图形上方内部明显无横线，所以三视图也应无横线，图1正确，图2错误。

（3）当被遮挡住时，看不见被遮挡部分。

如上图所示，图1、图2以及图3都是从立体图形左前方往右后方观察的，需要分两种情况进行讨论：①若只有图1和图2，得出的应是图1，因为后面的矩形应被前方的图形遮挡，被遮挡的部分应用虚线表示；②若只有图2和图3这，得出的应是图3，被遮挡的部分用虚线表示最严谨，若没有用虚线表示，则遮挡的部分应不画出来。

（4）有些角度下弧会被压平。

如上图所示，图1是圆柱体的俯视图，图2是圆柱体的主视图、左视图以及右视图。

粉笔小贴士：

三视图中被遮挡的部分是否应画虚线，需要从题干已知图形进行判断，与题干已知图形保持一致即可。

当立体图形出现曲线时，要注意当观察角度（视线的方向）与曲线在同一水平线时，则观察到的应是直线。

例题

（2019联考）从所给四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性：

【题型判定】本题为两组图形式，题干第一组第一个图形是立体图形，第二个图形和第三个图形是它的主视图和俯视图。

【题目分析】第二组应用与第一组相同或相似的规律，？处图形应为第二组第一个立体图形的俯视图。从上往下看，可以看到两个小圆和一个矩形面，只有C项符合。

例题

（2019河北）下面三个三视图依次与三个几何体相对应，三个几何体的正确对应顺序是：

A.②①③                    B.②③① C.①③②                    D.③①②

【题型判定】通过题目问题可直接判定本题考查三视图。

【题目分析】三视图分别是三个立体图形的主视图、俯视图和左视图。只有立体图形①的俯视图能看到一个“凸”字形面和左右两个小矩形，故图①对应的是第二个三视图，排除C、D两项；立体图形②上下相同，其正视图也应该是上下长得一样，对应的是三视图的第一个，排除B项；验证A选项，立体图形③的俯视图应该有一个长矩形和两个竖着的矩形，可与三视图的第三个相对应，A当选。

粉笔小贴士：

本题考查三视图的形式较为新颖，一道题目中涉及到了三个立体图形的主视图、左视图以及俯视图，实际做题时无需一一验证，可利用排除法加快做题速度。

总结：立体拼合、截面图与三视图三种题型的考试内容相对固定，立体拼合题目要遵循“凹凸一致”的解题原则，遇到小方块的拼合题目，当选项小方块数不同时，优先考虑小方块数；截面图除了要掌握截面图与剖面的区别，更要掌握“一刀切”的解题原则，最重要的是常见基础图形的截面形状，即使是难题也可以转换成基础图形再去研究；三视图要了解解题的思路，尤其是立体图形出现遮挡和去曲线时，要注意细节的判断。

最后，希望同学们能通过学习，掌握好立体拼合、截面图以及三视图的做题方法和技巧，在备考过程中不断练习，攻克难点，在考场中顺利得分！

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